Prólogo
Las matemáticas son un lenguaje muy flexible. Hay muchas maneras de expresar el mismo cálculo. Como ejemplo puedes coger una división simple
Esto también puedes escribir como
o como
No hay mucha diferencia en estos ejemplos. Solamente alguien muy exigente verá cómo está dibujada la barra de la fracción. Un contable preferirá escribir
y esto también tiene un aspecto diferente. En la escuela primaria aprendiste cómo se calcula una división
Esto demuestra cómo se hace. Como ves, hay muchas posibilidades para expresar la misma operación. Y en matemáticas, esto es así casi siempre. Aquí también es válida la expresión: Todos los caminos conducen a Roma. En la escuela secundaria también aprendiste este otro método
Los cálculos se hacen hoy en día con 10 dígitos, los números llamados árabes. De hecho fueron inventados en la India. ¿What is in a name? Cuando sumamos números, lo hacemos de derecha a izquierda, en cambio cuando escribimos lo hacemos de izquierda a derecha. Por eso, los números se alinean a la derecha. Esto sí que viene de los árabes, pero quizás no lo sabías. Para contar, se hace así
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Aquí empiezas con el 0. Has aprendido que es un número especial, pero cuidado, no se permite dividir por cero. Hace años se utilizaban números romanos. Todavía puedes ver en algunos edificios. En los números romanos se cuenta así
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ
Aquí no hay el cifra 0, ya que el cero no es nada. Durante siglos se ha discutido si el 0 es o no es un número. Ya lo verás
La respuesta es
Esto es así para cada número pero entonces, ¿que es?
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No se puede dividir por cero. Multiplicar por 0 sí se puede, porque ¿no hemos visto que?
02 = 0
01 = 0
00 = ?
Para esta clase de problema, los matemáticos han encontrado una solución elegante. Entonces se dice que algo está determinado por definición. De esta manera: 00 ≝ 1. En muchos casos se dan resultados correctos tomando 00 ≝ 1, pero, cuidado. Hay que comprobarlo, porque posiblemente en tu cálculo el resultado no sea correcto. La excepción confirma la regla.
Los cifras fueron inventados por los hombres. La naturaleza funciona de manera diferente. También existe el concepto de infinito. En matemáticas lo escribimos como ∞. Pero cuidado: No es un número. De todas maneras puedes realizar cálculos con él, y a veces con resultados asombrosos
∞ + ∞ = ∞
o aún
0 × ∞ = ?
Así pues, una multiplicación por 0 no siempre dará cero. Ahora quizás ya no te sorprenda tanto. Además hay números que no puedes escribir con exactitud.
El más conocido es pi, que se representa con la letra griega π. Ya conoces las fórmulas para calcular los parámetros de un circulo que son
Los antiguos griegos notaron ya que existía una constante que da la proporción entre el perímetro de un círculo y el diámetro D
π = logitud D
y eso también describe la proporción entre el área del círculo y el radio r
π = área r2
El valor de pi es
Ya se han calculado valores con un quintillón de cifras detrás de la coma y nunca se produce un patrón se repita. Los matemáticos demostraron que esto nunca sucederá, y por lo tanto lo llaman un número trascendente.
Otra constante trascendente famosa es e, la base del logaritmo de Naperian. Esta constante la necesitarás para calcular cómo se multiplican las bacterias, o para calcular cómo la contaminación radiactiva disminuye con el tiempo. Su valor es
En este documento se explica cómo fue descubierto el número y cómo aplicarlo en cálculos. Por otra parte, los matemáticos han probado que hay un número infinito de constantes trascendentes, pero nadie las conoce, y no sabemos para qué deben ser utilizadas. Se trata de alta matemática.
Volvamos a cosas más sencillas. Si sumas la serie infinita
siempre podrás continuar. Pero hay una manera más rápida. Fíjate en esto. Puedes hacer una duplicación y restarlo inmediatamente otra vez. Entonces obtienes el valor original otra vez, porque
2 × 3 − 3 = 3
o
2 manzanas – 1 manzana = 1 manzana
Hazlo también con la serie, por lo tanto
El cálculo dará
Y da como resultado
Es exactamente 1, y no algo misterioso como "En el infinito se acerca a 1". Hay una pequeña diferencia entre lo teóricamente infinito y lo físicamente infinito.
Vamos a ver las cosas infinitamente pequeñas. En matemáticas esto se representa como Δx→0 y significa que se acerca al cero, pero no es igual a cero, y por lo tanto se puede dividir. A veces hay que diferenciar entre
Si esto te confunde, mira lo siguiente
Esto está claro. Pero también puede explicar
Si omitimos los paréntesis en ambos cálculos, obtenemos
y de pronto no sabemos el resultado. ¿Qué está pasando aquí? A los matemáticos no les gustan los cálculos con este fenómeno. ¿Qué, te ha gustado esta materia? ¿Quieres saber más sobre nada, el infinito o más que el infinito? Pues sigue con este documento.
A veces debes aplicar un poco de magia en los cálculos. Y de hecho ¿Para qué necesitas las matemáticas? Esto ya lo decidirás tu mismo. En la mayoría de profesiones puedes avanzar sin matemáticas, pero puede ser bonito conocer las posibilidades, o quizás no.
De todas formas no puedes predecir el futuro con las matemáticas.